Derivada Direccional - link a wikipedia

La derivada direccional.

Definición :
La derivada de una función f (x,y) en la direcciónde un vector unitario
U = cos + sin se define comolim (1/h) (f(x + h cos , y + h sen ) - f(x, y))
ejemplos:

    1)  f(x, y) = 18 - x2 - y2 ; u = cos  + sen  

    f(x, y) = 18 - x2 - y2 ; u = {, , 0}

    La derivada direccional es:

2) f(x, y) = 18 - x² - y² ; u = cos + sen

     f(x, y) = 18 - x2 - y2 ; u = {, , 0}

    La derivada direccional es:

Evaluar las derivadas direccionales a partir de la definición sería tedioso e impráctico. El siguiente teorema nos será de gran utilidad.

Teorema: Si z = f (x,y) es una función diferenciable y U = cos + sen &thgr; , entonces Duf = f o U es la derivada direccional de f en la dirección de U.

Ejemplo: f(x, y) = 2x²y³ + 6xy; U = cos + sen

    f = {6y + 4xy3, 6x + 6x2y2, 0}

    Derivada direccional

    en la dirección de

    u = {, 0} es

    Duf = (6x + 6x2y2) + (6y + 4xy3)

    y en el punto {1, 1, 0}

tiene el valor 6 + 5

Derivación Implícita - link a vitutor

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente: .

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Ejemplo 4:

Hallar , de la función implícita:

Solución:

Primero,

segundo,

ahora el cociente,

acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:

Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita.

Nota:

Solo doy un ejemplo ya que para el buen entendido del tema es suficiente. Cada lector puede consultar libros sobre el tema y probar la fórmula que proponemos.