sábado, 17 de octubre de 2009

Regla de L'Hopital - link a wikipedia

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l'H%C3%B4pital

Teorema de L'Hôpital

François Antoine de L'Hôpital (1661-1704)

H) limx->a f(x) = limx->a g(x) = 0
Existe limx->a f'(x)/g'(x)
T) limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x)

Demostración:

Por H) existe f'(x) y g'(x) en un E*a => f y g son derivables en un E*a => (teorema) f y g son continuas en E*a

A f(a) y g(a) les adjudicamos el valor 0 en a porque si son discontinuas en a es una discontinuidad evitable.

f(a) = g(a) = 0

Supongo limx->a f'(x)/g'(x) = b => por definición de límite para todo Eb existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f'(x)/g'(x) pertenece al Eb.

Sea x perteneciente a un E*a
f y g son continuas en [x,a] y derivables en (x,a) => por el teorema de Cauchy existe c perteneciente a (x,a) /(f(a) - f(x))/(g(a) - g(x)) = f'(c)/g'(c)
o sea f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c)

c pertenece a un E*a => f'(c)/g'(c) pertenece a un Eb => f(x)/g(x) pertenece al Eb.

=> limx->a f(x)/g(x) = b => limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x).

Ejemplo

    2x - 2 lim ------  es una indeterminación 0/0. x->1  Lx                  Derivemos el numerador y el denominador y veamos el límite:        2                                 2x - 2 lim ------- = 2   => por L'Hôpital   lim ------ = 2    x->1  1/x                            x->1  Lx  

No hay comentarios:

Publicar un comentario