http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l'H%C3%B4pital
Teorema de L'Hôpital
François Antoine de L'Hôpital (1661-1704)
H) limx->a f(x) = limx->a g(x) = 0
Existe limx->a f'(x)/g'(x)
T) limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x)
Demostración:
Por H) existe f'(x) y g'(x) en un E*a => f y g son derivables en un E*a => (teorema) f y g son continuas en E*a
A f(a) y g(a) les adjudicamos el valor 0 en a porque si son discontinuas en a es una discontinuidad evitable.
f(a) = g(a) = 0
Supongo limx->a f'(x)/g'(x) = b => por definición de límite para todo Eb existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f'(x)/g'(x) pertenece al Eb.
Sea x perteneciente a un E*a
f y g son continuas en [x,a] y derivables en (x,a) => por el teorema de Cauchy existe c perteneciente a (x,a) /
o sea
c pertenece a un E*a => f'(c)/g'(c) pertenece a un Eb => f(x)/g(x) pertenece al Eb.
=> limx->a f(x)/g(x) = b =>
Ejemplo
2x - 2 lim ------ es una indeterminación 0/0. x->1 Lx Derivemos el numerador y el denominador y veamos el límite: 2 2x - 2 lim ------- = 2 => por L'Hôpital lim ------ = 2 x->1 1/x x->1 Lx
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